Teorema de la probabilidad total

Sean los sucesos A₁,A₂,...,A_k una partición del espacio muestral, es decir, son incompatibles dos a dos
A_i A_j= Ø y A₁U A₂U...U A_k= y sea B un suceso cualquiera, entonces:

Comprobemos que la afirmación es cierta:
P(B)=P(B ) = P(B ( A₁U A₂U...U A_k)) = P((B A₁ ) U (B A₂ ) U...U(B A_k ))
Como A_i A_j= Ø entonces ( BA_i ) (BA_j )= Ø y por tanto
P((B A₁ ) U (B A₂ ) U...U(B A_k ))=P(B A₁ )+P (B A₂ )+...+P(B A_k )
por la definición de probabilidad condicionada sabemos que P(B A_i )=P(B/A_i )·P(A_i )
de donde se obtiene la conclusión deseada
P(B)= P(B/A₁ )·P(A₁ )+P(B/A₂ )·P(A₂ )+...+P(B/A_k )·P(A_k )

Para calcular P(B) es de gran ayuda la representación de un diagrama de árbol como su muestra en el ejemplo.

Tenemos tres urnas, la primera contiene 4 bolas blancas y 2 negras, la segunda 3 blancas y 3 negra y la tercera 3 blancas y 6 negras. Se elige una urna al azar (se supone que la elección de urnas es equiprobable) y se extrae una bola. Calcula la probabilidad de que la bola extraída sea negra.



P(N) = P( N / U₁ )·P(U₁)+P( N / U₂ )·P(U₂)+P( N / U₃ )·P(U₃)