Cuando hablamos de producto tenemos que distinguir entre el producto de una matriz por un escalar (un número) y producto de matrices.

Producto de una matriz por un escalar
Si multiplicamos una matriz por una escalar, multiplicamos cada elemento de la matriz por ese escalar.
Sea A=(a_ij ) i=1,...,n j=1,2,...,m entonces k·A=k·(a_ij )=(k·a_ij )

Producto de dos matrices
No todas las matrices se pueden multiplicar entre sí.

Sean A_mxn y B_pxq, condición necesaria y suficiente para que se puedan multiplicar A y B es que n=p, es decir, para poder multiplicar dos matrices el número de columnas de la primera tiene que coincidir con el número de filas de la segunda. El resultado del producto es una matriz C de dimensión mxq.
Dadas dos matrices A_mxn y B_nxp. El producto A·B=C donde cada elemento de C viene dado por

dicho de otro modo el elemento que ocupa la fila i y la columna j del producto se halla multiplicando los elemento de la fila i-ésima de A con los de la columna j-ésima de B, tal que
c_ij=a_i1·b_1j+a_i2·b_2j+...+a_in·b_nj
Veámoslo con ejemplos en matrices de números reales